Skip to content

¿Qué es un precio para un quant? Del cálculo de Itô al equilibrio general de Arrow-Debreu

Compartir

Compartir en facebook
Compartir en linkedin
Compartir en twitter
Compartir en pinterest
Compartir en email

La doctrina económica desde tiempos de los escolásticos se ha planteado esta cuestión, la cuestión sobre la naturaleza de los precios, con gran asiduidad. La noción de precio justo, que de alguna forma viene a recoger y servir de confluencia entre los factores subjetivos y los más ligados a la escasez y la producción, acabó derivando en la clásica noción de precio de equilibrio que gran parte de los economistas utilizan a día de hoy.

Sólo Dios lo sabe

Juan de Lugo zanjó esta cuestión diciendo que “el precio justo matemático solo Dios lo conoce”, y de esta forma, sin él saberlo, le marcaría el camino a economistas de siglos posteriores, que verían en ese equilibrio más un benchmark que un precio cuya naturaleza gozara de algún tipo de realidad empírica. El precio de equilibrio, o mejor dicho, el vector de precios de equilibrio, sería aquel que garantizaría la igualdad entre la oferta y la demanda y que todos los actores económicos maximizaran su bienestar, sea en forma de utilidad o de beneficio empresarial. El perfecto win win.

Los fundamentos ya estaban ahí, solo hubo que rescatarlos y darles otro nombre. De esto se encargó la economía neoclásica y el paradigma del equilibrio general competitivo, tan brillantemente expuesto por dos de los economistas más afamados e importantes del siglo XX: Kenneth Arrow y Gérard Debreu.

Valoración

Sin embargo, este esquema oferta – demanda se ha demostrado completamente insuficiente a la hora de darle precio a ciertos contratos financieros de una naturaleza muy distinta: por su gran iliquidez, esto es, o bien porque la demanda es escasa o porque directamente la oferta de ese producto es inexistente hasta la fecha, tenemos que darles un precio sin contar con las referencias habituales.

Este es el caso, por ejemplo, de muchos derivados exóticos, el dolor de cabeza de cualquier quant de front office en la industria bancaria. Y aquí el marco diseñado por los economistas se viene abajo. Tenemos que buscarnos una alternativa, una metodología que se base en comparables. Si no sé cuánto vale algo, intento acercarme al valor de sus homólogos y de ahí extraigo conclusiones.

Esta metodología, aunque parezca algo aproximada e incluso de compromiso, es la metodología estándar que usamos los financieros para valorar. Los financieros más orientados a corporate, cuando quieren valorar una empresa, esto es, darle un precio, hacen uso de los famosos ratios (P/E, EV/EBITDA…) sobre sus comparables de mercado y de ahí aproximan el valor de la empresa target, aquella que quieren valorar.

Este enfoque, el enfoque por múltiplos, es uno de los más importantes en IB, si no el que más. De hecho, la teoría de la valoración puede demostrar que cualquier otro enfoque basado en descuento de cash flows, descuento de flujos, es en verdad otra técnica basada indirectamente en comparables, al contrario de lo que pueda parecer a simple vista. Y esto los quant desde hace mucho tiempo lo sabemos.

Kenneth Arrow y Gérard Debreu

La teoría fundamental de la valoración surge al calor de los estudios de dos economistas que ya hemos citado anteriormente: Arrow y Debreu. Arrow y Debreu postularon una economía con activos básicos, activos cuyo precio conocemos en un conjunto de posibles estados de la naturaleza, y a partir de aquí construyeron un framework que nos permitía valorar por replicación. Esto es, si queremos valorar un activo financiero X y a la vez disponemos de una cartera de activos básicos cuyos flujos son idénticos a los de X, sea cual sea el escenario, el valor del activo X se corresponde con el propio valor de la cartera, con el coste de replicación.

Esto es, podemos conocer el valor del activo desconocido simplemente agregando los valores de los activos básicos necesarios para formar la cartera replicante, y si es necesario, descontando su valor a fecha presente. Estos dos señores parecieron ver antes que nadie que su enfoque era tal vez excesivamente teórico, y que por ello necesitaban construir una teoría de los precios sobre un esquema radicalmente distinto. Pues bien, es este esquema, y no otro, el que usamos los quant para valorar activos financieros: el precio como el coste de la cartera réplica.

Hipótesis martingala

El problema radica en que este enfoque, salvo casos muy particulares, tiene un manejo bastante complicado. Los quant tuvieron que arreglársela para traducir este nuevo lenguaje de Arrow y Debreu a un lenguaje completamente equivalente pero más familiar para los matemáticos: el lenguaje de la probabilidad. Ya armados con un conjunto de probabilidades de valoración, que se deducen a partir de esos mismos activos básicos, podemos empezar a ver el precio como un descuento de flujos futuros esperados.

Para ello, tuvimos que añadir una hipótesis adicional: la hipótesis martingala. Una martingala no es más que un proceso aleatorio (estocástico) que trata de emular a la clásica noción de juego justo: el mejor valor que puedes esperar para mañana es el valor que tienes hoy. Gracias al marco martingala, podemos asegurar que ese descuento de flujos es libre de arbitraje, esto es, que no podemos conseguir alfas en mercado sin tomar ningún riesgo, situación con diferencia más común en los mercados financieros. De esta forma, el marco de la valoración por replicación acaba transformado en un descuento de flujos futuros, y el precio, reformulado usando un marco conceptual distinto (aunque en cierto modo equivalente) al que usan tradicionalmente los economistas.

Cálculo estocástico

Muchos modelos financieros típicos, como es el modelo de Gordon para calcular el precio de una acción por descuento de dividendos, no es más que el marco de valoración quant aplicado a un caso muy concreto. Y todo esto se lo debemos al trabajo de dos economistas esenciales a la vez que muy desconocidos para el público en general, además de a Itô, Girsanov y otros matemáticos que sentaron las bases del cálculo estocástico a lo largo del siglo XX. A pesar de haber generado poca polémica con sus estudios, mucha menos que la que generaron otras personalidades de la economía más mediáticas y ruidosas, Arrow y Debreu sentaron las bases de la economía neoclásica y de la industria financiera al mismo tiempo. Dos en uno. Que sirva este breve artículo como tributo a su figura.

Ver más

La cuestión de las matemáticas en economía. (Vicente Moreno).

El uso de las matemáticas en economía. (Juan Morillo).

La escuela austríaca y sus críticos. (Vicente Moreno).

1 Comentario

  1. No fueron Arrow y Debreu quienes inventaron las Arrow securities o certificados de Arrow. Fue sólo el primero de ellos, en un artículo en francés q se publicó en inglés en Restud como On the role of securities in the optimal allocation oficial risk bearing.


Añadir un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Más artículos